Chapitre 4
Suites et séries de fonctions
Une suite de fonctions converge simplement lorsque, en chaque point fixé, la suite des valeurs converge. Elle converge uniformément lorsque l’écart maximal entre la fonction et sa limite tend vers 0 sur tout le domaine. La seconde notion implique la première ; la réciproque est fausse.
‖ fₙ − f ‖∞ = sup | fₙ(x) − f(x) | → 0
§ 11 — Ce que l’uniforme préserve
La convergence uniforme transporte la continuité : une limite uniforme de fonctions continues est continue. Elle autorise aussi la permutation de la limite et de l’intégrale sur un segment. La convergence simple ne fait ni l’un ni l’autre.
- Continuité
- préservée
- ∫ et lim
- permutables
- Dérivée
- hypothèse en plus
§ 12 — Séries de fonctions
Pour une série de fonctions, la convergence normale — majoration du terme général par une série numérique convergente — implique la convergence uniforme, qui implique la convergence simple. La chaîne ne se remonte pas, et c’est la convergence normale qui se vérifie en pratique.
« Normale ⇒ uniforme ⇒ simple. Aucune des deux implications ne s’inverse. »
§ 13 — Dérivation d’une limite
La dérivation demande davantage : la convergence uniforme de la suite des dérivées, et la convergence en un seul point de la suite des fonctions. Sous ces hypothèses, la limite est dérivable et sa dérivée est la limite des dérivées.
(lim fₙ)′ = lim fₙ′