Chapitre 5
Fonctions de plusieurs variables
Une limite dans le plan doit valoir la même chose selon tout chemin d’approche, et non seulement selon les deux axes. C’est l’origine de la plupart des erreurs du chapitre : deux limites partielles égales ne font pas une limite.
∂f/∂x (a) = lim (f(a + h e₁) − f(a)) / h
§ 14 — Différentiabilité
La fonction est différentiable en un point lorsque son accroissement s’écrit comme une application linéaire du déplacement, à un reste négligeable près. La différentielle est cette application linéaire, et sa matrice dans les bases canoniques est la matrice des dérivées partielles.
« Dérivées partielles : deux directions. Différentielle : toutes les directions à la fois. »
§ 15 — La hiérarchie, dans le bon sens
De classe C¹ implique différentiable, qui implique à la fois continue et dérivable selon toute direction. Aucune de ces implications ne se retourne, et l’existence des seules dérivées partielles n’est en bas d’aucune chaîne.
- C¹
- ⇒ différentiable
- Différentiable
- ⇒ continue
- Partielles
- ⇏ continue
§ 16 — Jacobienne
Pour une application à valeurs vectorielles, la matrice jacobienne rassemble les dérivées partielles de chaque composante, une ligne par composante. Son déterminant décide de l’inversion locale : non nul en un point, l’application y est un difféomorphisme local.
det J_F(a) ≠ 0 ⟹ F difféomorphisme local en a