Chapitre 6
Calcul différentiel
Le gradient d’une fonction numérique rassemble ses dérivées partielles en un vecteur. Il est orthogonal aux lignes de niveau, et il pointe la direction de plus forte croissance : deux propriétés qui suffisent à lire un paysage de niveaux sans calcul.
∇f (a) = ( ∂f/∂x (a), ∂f/∂y (a) )
§ 17 — Règle de la chaîne
La différentielle d’une composée est la composée des différentielles : matriciellement, la jacobienne de g rond f au point a est le produit de la jacobienne de g au point f(a) par celle de f en a. L’ordre du produit n’est pas négociable.
J_{g∘f}(a) = J_g(f(a)) · J_f(a)
§ 18 — Théorème de Schwarz
Pour une fonction de classe C², l’ordre de dérivation ne compte pas : les dérivées croisées sont égales, et la hessienne est symétrique. Sans l’hypothèse C², l’égalité tombe — le contre-exemple classique le montre en un seul point.
- C²
- ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x
- Hessienne
- symétrique
- Sans C²
- égalité fausse
§ 19 — Taylor à l’ordre 2
Au voisinage d’un point, l’accroissement s’écrit avec le gradient au premier ordre et la hessienne au second. En un point critique, le gradient s’annule : c’est la hessienne qui décide alors de la nature du point — minimum, maximum ou col.
« Le gradient dit où chercher ; la hessienne dit ce qu’on a trouvé. »