Chapitre 3
Séries de Fourier
À une fonction périodique et intégrable sur une période, on associe une suite de coefficients qui mesurent sa part de cosinus et de sinus à chaque fréquence entière. La série trigonométrique reconstruite à partir de ces coefficients est la série de Fourier de la fonction.
aₙ = (2/T) ∫ f(t) cos(nωt) dt
§ 8 — Parité, et coefficients nuls
Une fonction paire n’a que des coefficients en cosinus ; une fonction impaire n’a que des coefficients en sinus, terme constant compris. Ce n’est pas une commodité de calcul : c’est la traduction de la symétrie du signal, et le premier contrôle à faire sur un résultat.
- f paire
- bₙ = 0
- f impaire
- aₙ = 0
- f réelle
- coefficients réels
§ 9 — Deux théorèmes de convergence
Sous les hypothèses de Dirichlet — fonction continue par morceaux, dérivée continue par morceaux —, la série converge en tout point vers la demi-somme des limites à gauche et à droite. En un point de continuité, c’est la valeur de la fonction ; en un saut, c’est le milieu du saut.
« En un point de discontinuité, la série ne choisit pas de côté : elle passe par le milieu. »
§ 10 — Égalité de Parseval
(1/T) ∫ |f|² = a₀²/4 + ½ Σ (aₙ² + bₙ²)
L’énergie du signal se retrouve intégralement dans ses coefficients. L’égalité vaut dès que la fonction est de carré intégrable sur une période — sans aucune hypothèse de continuité —, et elle sert autant à sommer des séries qu’à contrôler un calcul de coefficients.