Chapitre 2
Séries entières
Une série entière est une série de fonctions de la forme Σ aₙ xⁿ. Le lemme d’Abel fournit l’essentiel : s’il existe un point où la série converge, elle converge absolument en tout point de module strictement inférieur. L’ensemble des points de convergence est donc un disque, à son bord près.
R = sup { r ⩾ 0 : (|aₙ| rⁿ) est bornée }
§ 5 — Calcul du rayon
En pratique, le rapport de deux coefficients consécutifs suffit presque toujours. Si le module de aₙ₊₁ / aₙ tend vers L, alors le rayon vaut 1/L, avec les conventions usuelles aux deux bouts : L nul donne un rayon infini, L infini un rayon nul.
- Σ xⁿ / n!
- R = +∞
- Σ xⁿ / n
- R = 1
- Σ n! xⁿ
- R = 0
Le bord échappe à ce calcul : il s’étudie point par point, et rien n’oblige la série à s’y comporter de la même manière partout.
§ 6 — Ce que le disque ouvert donne
Sur le disque ouvert de convergence, la somme est de classe C∞, la convergence est normale sur tout compact, et la série se dérive comme se dérive un polynôme — terme à terme. C’est cette liberté qui fait des séries entières l’outil de calcul du chapitre.
« À l’intérieur du disque, tout est permis ; sur le bord, tout est à vérifier. »
§ 7 — Développements à connaître
eˣ = Σ xⁿ / n!, R = +∞
Le développement de l’exponentielle, ceux du sinus et du cosinus, la série géométrique et le logarithme forment le fonds à savoir sans calcul. Tous les autres s’en déduisent par substitution, produit, dérivation ou intégration terme à terme.
ln(1 + x) = Σ (−1)ⁿ⁺¹ xⁿ / n, R = 1