Chapitre 1
Suites et séries numériques
À une suite (aₙ) on associe la suite de ses sommes partielles Sₙ = a₁ + … + aₙ. La série de terme général aₙ converge lorsque la suite (Sₙ) converge ; sa limite est alors appelée somme de la série. Toute la théorie qui suit ne fait qu’une chose : décider de la convergence de (Sₙ) sans la calculer.
§ 1 — Condition nécessaire
Si la série converge, alors aₙ tend vers 0. La réciproque est fausse, et le contre-exemple est immédiat : la série harmonique diverge bien que son terme général tende vers 0. On ne conclut donc jamais la convergence d’une série de la seule nullité de sa limite.
§ 2 — Séries de référence
Deux familles suffisent à presque tous les exercices. Les séries géométriques convergent si et seulement si le module de la raison est strictement inférieur à 1. Les séries de Riemann convergent si et seulement si l’exposant est strictement supérieur à 1.
Σ 1/n^α converge ⟺ α > 1
Le cas α = 1 est la frontière, et il diverge : c’est le seul exposant qu’il faut avoir retenu par cœur, puisque c’est celui dont aucun critère ne décide.
§ 3 — Comparaison et équivalents
Pour des séries à termes positifs, une majoration terme à terme transmet la convergence, une minoration transmet la divergence. Si les termes sont équivalents, les deux séries ont même comportement — l’hypothèse de signe constant n’est pas décorative : elle tombe dès qu’on l’oublie.
« Deux termes équivalents de signe constant donnent deux séries de même nature. Sans le signe, l’énoncé est faux. »
- Riemann
- α > 1
- Géométrique
- |q| < 1
- Harmonique
- divergente
§ 4 — d’Alembert, et séries alternées
Le critère de d’Alembert examine la limite du rapport de deux termes consécutifs : strictement inférieure à 1, la série converge ; strictement supérieure, elle diverge. Égale à 1, le critère ne conclut pas — et c’est précisément le cas des séries de Riemann.
Σ (−1)ⁿ⁺¹ / n = ln 2
Une série alternée dont la valeur absolue du terme décroît vers 0 converge. Elle peut converger sans converger absolument : la série ci-dessus en est l’exemple canonique, et sa somme vaut ln 2.